Integration by Parts: part-1

Formula:

$\int uvdx=u\int vdx-\int (\frac{d}{dx}u\int vdx)dx$

Apply করার শর্তঃ যদি u,v প্রতিস্থাপন যোগ্য না হয়। অর্থাৎ, যদি u কে Differentiation করে v বা v কে Differentiation করে u না পাওয়া যায়।

u ধরার নিয়মঃ  যাকে খুব সহজেই Differentiation করা যায়। 

v ধরার নিয়মঃ যাকে খুব সহজেই Integration করা যায়।

তবে LIATE শব্দের অক্ষরের সিরিয়াল অনুযায়ী প্রথমে যেটি থাকবে সেটিকে u এবং পরেরটিকে v ধরলে Integration করা অনেক সহজ হয়। নিচে LIATE শব্দের প্রতিটি অক্ষরের পরিচয় দেওয়া হল-

$$\begin{gathered} L\to \mathrm{Logarithmic\; Function}\left(logx,lnx...\right)\text{ \\ rI→Inverse CircularFunctionsin-1x,cos-1x... \\ rA→Algebric Functionx,x2... \\ rT→Trigonometric Functionsinx,tanx... \\ rE→Exponential Functionex,ax...} \end{gathered}$$

Example-1:  $$\int xsinxdx=?$$

Solution: এখানে,

$$x\to \mathrm{Algebric\; Function}=A$$ $$\sin x\to \mathrm{Trigonometric\; Function}=T$$ $$\therefore {\int }_{}^{}xsinxdx=x{\int }_{}^{}sinxdx-{\int }_{}^{}\left\{\genfrac{}{}{0.1ex}{}{d}{dx}\left(x\right){\int }_{}^{}sinxdx\right\}dx$$ $$\Rightarrow =-xcosx-\int (-cosx)dx$$ $$\Rightarrow -xcosx+sinx+c\left(Ans.\right)$$

$$<br>$$

আরো ভালোভাবে বুঝতে নিচের ভিডিওতে ক্লিক কর।